2020年10月14日，常州市自觉数学教育高端成长工作室全体成员相聚在常州市清潭中学，开展了一天的研修活动。下午的活动主要是由卢彬彬、郑金华、薛丽萍三位老师带来的数学专题讲座。

一、数学专题讲座——《化归思想》

　　常州市东青实验学校卢彬彬老师以题引入，分别从化归思想的定义要素、化归思想所要遵循的原则、化归思想的主要作用、运用化归思想的策略等四大方面，让大家系统的认识了解了化归思想，充分体会到“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”

【常州市第四中学 关旸】

1.化的是形式，归的是本质

      在听讲座前，我对“化归思想”的认识只停留在“转化”上，仅仅粗浅地认为化归思想就是转化思想，仅此而已。听过卢老师的讲座后，让我对“化归思想”有了新的认识。化归思想是在解决问题的时候，通过某种手段将问题变换转化，从而解决的一种数学思想，是转化与归结的并称。

      应用“化归思想”时，虽然遵循的原则不同，使用的方法各异。但最终都是为了达到在解题的时候另辟蹊径的目的，从而使问题得到解决。这不正是数学思想方法的迷人之处吗？如果我们在教学时能够随时渗透化归思想，那么通过长期的训练和运用，学生的收获将不只是会应用化归思想解决数学问题，甚至只要生活中遇到问题，都会用“化归”的思维方式去变通的解决。数学的美，理智的美！

2.化得有策略，归得有效果

      无论是代数计算还是几何证明，化归的主导思想正是把一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象，以取得“化大为小、化难为易、化繁为简”的效果。“化归”似做事，“数学”如人生，因为“天下大事必做于细，天下难事必做于易”。当我们在数学课堂上教学生有策略的应用化归思想的时候，又何尝不是间接地引导了学生学会变通的处世哲学呢？谁说学生不会因为我们教数学化归思想，而学会了做人做事呢？数学的美，理性的美！

      如此说来，身为一名数学教师任重道远。于是，更加感激和珍惜在潘建明导师的指导下，和同伴们在一起的每一个学习机会，衷心地感谢潘校。

【常州市勤业中学 金银】

      通过卢老师讲座，我认为化归思想方法的教学途径有:在课堂习题教学中进行教学、利用专题讲座进行教学。而化归思想方法的教学策略有:从教材中挖掘化归思想方法、在教学设计中渗透化归思想方法、在实际教学过程中正确对待化归思想。
      当然，我们教是为了不教，即所谓授人以鱼不如授人以渔。经过小学6年的数学学习，部分学生对数学停留在做计算题、做应用题等单一的算术概念上，甚至由于运算的错误、不会列式解决实际问题（应用题），而对数学有了深深的恐惧。进入中学，在提到数形结合、划归、整体等思想时，也是一脸茫然。
      平时教学中，我们务必要督促学生熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能，这是划归的基础；要引导学生有丰富的联想和细致的观察、比较、类比，这是划归的方法。我们也要训练学生自觉对所学习过的定理、法则、公式等有本质上的深刻理解，这样也需要我们老师在平时注重收集典型题目，在不知不觉中慢慢渗透思想，协助学生总结提炼，积极主动去发现未知和已知事物之间的联系。甚至，为了实施有效的划归，我们可以结合变式，改变题目的条件、结论，从代数问题角度或是几何问题角度去解决问题，让学生在一次次尝试中跳一跳摘果子，从而收获成功的喜悦。
      当然，通过划归思想的应用，让学生不断创新，不断发散思维，让学生感受到划归不仅仅是一种数学思想，也是一种学习方法。
      最后，再次感谢潘校的引领，感谢卢老师带来的精彩讲座，让我受益很多。

【常州市新北区飞龙中学 张一青】

1.多钻研，充分挖掘教材内容的数学思想

      看了卢老师举得一些数学例子，我在想，其实也都是我们平时教学过程中常见的题型，但是我们在上课的时候，有一些问题仅仅是停留子讲题的表面，并没有深入去思考这些题蕴含的数学思想，现在想来，平时上课还是太粗糙，不注意提炼思想方法，对学生的思维启迪意义不大，这是一个值得我引起重视的问题。今天活动后回来，我结合自己现在所教的七年级好好想了一下关于化归思想，发现最近才上完的有理数运算一张就是化归思想最好的例证。

      比如学生已经学习了有理数加法法则，并会用有理数加法法则进行计算。当遇到有理数减法问题时，则可以利用相反数的概念，将有理数的减法问题转化和化归出有理数加法问题从而得到有理数减法法则，使有理数加、减法统一起来，得出一个概念：代数和。学习了有理数乘法知识之后，利用倒数的概念将有理数除法转化有理数乘法，从而归纳出有理数除法法则，建立起了乘法和除法的联系和纽带，从而用已掌握的知识经验解决了新的问题。这部分内容教师在教学时要将这章内容中关于化归思想的内容和学生渗透好，学生的思维必然会得到很大的突破。

      除此之外，数学中还有很多知识之间都有着相互联系和转化：代数问题中，一元二次方程向一元一次转化，分式方程向整式方程转化等。几何问题中，一般三角形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形。几何问题代数解法，也体现了数形结合的代数和几何相互转化思想，这些问题都是运用了化归和转化思想解决的。由此可见，化归和转化思想是解决这类问题的关键，体现了一种重要的数学思维思想。

2.和一群优秀的人在一起，幸福成长

      卢彬彬老师是我们培育室里的比较年轻的成员，还记得去年在培育室里一起学习时，那时的她青涩而勤勉，而在这次活动中，这样一位工作时间不长的年轻老师能做这样一场讲座，我看到了她的飞速成长，心里也不由得又感激起潘校来，缘与潘校，让这样一群优秀而有追求的老师聚在一起，在完成一次次任务的中，如凤凰涅槃般飞速成长；缘与潘校，让我们在这样一个群体中不经意间成长起来！

二、数学专题讲座——《函数思想》

      常州市新北区吕墅中学郑金华老师结合课本、课标对初中阶段所要学习的一次函数、二次函数、反比例函数、锐角三角函数的具体内容进行了细致的研读，并对常州2020年和函数相关的中考题进行了详细的点评讲解。最后简要阐述了函数思想的培育策略。

【常州市田家炳初级中学 沈秋萍】

      今天郑金华老师的专题讲座《函数思想》引起了我的共鸣，讲座层次清晰，内容主次分明，首先阐述了函数的概念，然后重点分析了初中阶段的一次函数，二次函数，反比例函数级锐角三角函数的的课标、课本要求以及近三年的函数中考题分布情况，分值，并就2020年的中考函数考题详细分析了函数知识如何考？如何解题？我们从哪些角度去优化我们的教学？最后出示了4个培育函数思想的策略。整个讲座展示了郑老师扎实的数学基本功，敬业的精神和高度的责任心。更显示了郑老师爱钻研，善于学习的作风。从她的报告我中受益匪浅，不仅更加清晰了初中阶段的函数考点，而且发现老师教给学生的工具一定要多，这样才能让学生应对各种类型的问题。非常感谢郑老师的有高度指导。
      其实所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。除了郑老师讲的函数的考题，我在我的教学中发现函数思想在以下问题的处理中显示出较强的优势。
1.运用函数思想求解方程问题
      函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程，一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。

2.运用函数思想求最值。
      二次函数图像与对称轴的交点是抛物线的顶点，在顶点处往往有函数的最值，利用二次函数的这一性质可以通过数学建模很便捷地求出一些复杂的代数问题的最值。

【常州市新北区新桥初级中学 裴玲燕】

      函数是初中数学的重要组成部分，它深刻地反映了客观世界的运动和实际的量之间的依赖关系，通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。函数图像将函数的数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法。
      函数思想是初中学生提高思维能力的关键。学生只有领会了基本函数思想及方法，才能有效地应用知识，形成能力。在我们的教学中，那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透基本函数思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高;反之，如果单纯强调基本函数思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，学生也难以领略到深层知识的真谛.因此，对函数思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步握。
      数学思想方法是数学知识的精化所在，反映出数学的本质规律，学生若能掌握数学思想方法，便能更快地理解知识。因此，在初中函数教学过程中，教师应注重将函数思想方法渗透到自身的教学理念中来让学生充分学习函数中深含的思想方法从而帮助学生在学习函数基础知识之余，也能具备相应的函数解题能力。
      函数从客观现实中提取出问题的数学特征，从中抽取出抽象的关系，继而在建立起的函数关系中分析解决问题。处于初中习阶段的学生，自身的知识积淀与认识能力仍处于基础水平，可能难以把握函数的抽象性。因此，教师有必要结合丰富的实例、教学模型、多媒体技术以及其他的直观手段，将函数的抽象性与个体性相结使学生感性认识理解函数的概念。
      两个变量间的相互影响关系，对于刚刚接触函数知识的学生来说不太容易理解。初中函数教师可以根据＂一个量随另一个量的変化而変化＂这一关系，让学生结合熟悉的数学知识以及日常生活实际来举例，比如如“汽车的汽油消耗量随着行车路程的变化而变化＂，或者“圆形的面积随着半径长的变化而变化”等等。这样，便使学生更迅速地理解自変量与变量的定义，并能在活跃的思维环境中锻炼分析、解決问题的能力。
      在初中函数中，函数变量关系与绘制图像同样密切联系起来，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了一个方便的视角。初中数学教师在教授函数知识时，若能充分利用“数形结合＂观念，将会更好地引导学生们探索、归纳函数基本要义，开拓解题思路。

【常州市田家炳初级中学 朱正芳】

      在郑老师《函数思想》讲座的引导下，我产生了这一的疑问：在平时的教学中，有哪些知识的教学可以渗透函数思想？
      1.《字母表示数》，这一课时内容本质上来说，就是没有因变量的函数关系的体现，在教学时，可以渗透函数思想的化无限为有限；《代数式的值》一节中可以体现的函数的对应关系，也可以在教学时让学生感受到这种对应关系，为后面函数的学习与应用打下基础。
      2.方程可以看作函数的因变量确定的情况，这一知识点的教学时既也可以体现函数的对应关系，更能体现函数思想的应用。
      3.几何中的动点问题，点在动的过程是一种变化的过程，而在这个过程中面积或者长度随之变化的过程，又是一种对应关系，所以通常动点问题的解决要依靠函数思想。在进行动点问题的教学时，就可以让学生感受到这种变化过程和对应关系，引导学生将其与函数的变化和对应相联系，不断的渗透函数思想。
      4.实际问题中的最值问题。在解决实际问题中，往往会出现当一个量在变化时，另一个量也会随之变化的情况，比如销售问题中，当数量变化时，总价也会发生变化，这就是实际问题中的函数，在教学时，也可以引导学生从这种变化和对应的点入手，感受函数的应用。
      郑老师的讲座内容丰富，引人思考，更让我感受到数学的深奥和有趣，在平时的教学中一定要作一名勤于思考的有心人。

三、《教学案的有效设计》

      常州市武进湖塘实验中学薛丽萍老师和大家分享了湖塘实验学校的数学教学案是如何有效设计、使用的，薛老师分别从新授课、专题课、复习课三种不同课型结合具体的课例向大家展示了自主学习型课堂自主研读初步学、合作探究深化学、检测总结巩固学的教学模式。

【常州市正衡初级中学 陈小利】

1.层层推进有章法
      现在有很多学校都在用教学案，这是基于学校学情而进行的“量身定制”.当我看到薛老师对湖塘实验学校“自主学习型课堂”模式的介绍后，我被深深震撼了。以一切为了学生，一切都是为了帮助学生解决问题为基本思想，“三轮循环，五个环节，九个步骤”环环相扣，从学生已有知识出发层层推进，预设学生思维断裂点与盲区，充分考虑学生对内容理解的难点、重点、混淆点，针对学生的已知与未知进行教学案，真正做到了“教学有法、教无定法”。
2.实干巧干出成效
      薛老师分享交流了很多课例，从新授课到复习课和专题课，针对不同的课型进行灵活的版块架构。尤其是对专题复习课的设计，不仅对题型进行归纳提炼，还把解题思路进行梳理，让学生的自主学习有法可依，这既需要花费大量的时间精力进行实干，更需要灵敏的思维进行巧干，教学案的有效设计成效显著。另外，每节课都留有10分钟的当堂检测也是一个亮点，既能让教师及时掌握学情调整教学，也能让学生有充分的课堂巩固复习时间，做到堂堂清，真是一举多得。
3.团队合作显智慧
      每一份高质量的教学案的背后都是备课组团队的群策群力，精心编制，不断“打磨”。通过团队的研讨，集中团队的智慧，促进资源的共享，形成教学案的有效设计。薛老师呈现出这么多优秀的课例，既注重一体化设计，又可以根据自己个性化的思考和设计对教学案进行调整、修改和完善，让我深感湖塘实验学校备课组团队的智慧。

【常州市东青实验学校 卢彬彬】

      回顾之前的教学，偶尔会去用学案，但在使用学案时存在着很多的误区：
1.题目设计不合理。
      在设计教学案时，由于时间较为紧凑，教学案的质量不是太高，题目往往不够精炼，不符合层层递进的要求，导致学生知识点之间出现断层，为学生的学习增加了难度。同时，如果题目选择的过于简单或过分困难时，就会出现前面“吃不饱”或后面没法做的情况，不利于分层教学。
2.不注重反馈。
      在学生完成教学案后，有时会缺少对学生教学案上错误的批改与纠正，不能充分发挥学案教学的效果。
3.学生预学习效果不高。
      在设计预习部分时，有时只是对知识点的简单填空，缺少对知识的转化和运用，不利于学生对知识的生成和深入理解。

通过今天的学习，在今后设计教学案教学的过程中，我会争取做到以下几点：
1.巧设习题
      设计教学案前了解学生思维断裂点与盲区，充分考虑学生对内容理解的难点、重点、混淆点，针对这些设计问题，避免不必要的重复，选题时注意难度适当。
2.及时反馈
      可以在教学案中适当增加当堂检测，并对学生的答案及时给予批改，了解学生对本节课知识点的掌握情况，做到讲做练相结合。
3.收放得当
      在教学过程中应给予学生足够的时间独学和群学，可以让学生先通过自主研读教材归纳相关知识点并进行检测，了解本节课还需学习哪些内容，然后再通过合作探究的方式完善本节课的知识体系，充分发挥学生的主体作用。
4.不断改进
      没有一节课是完美的，同样，也没有哪一课的教学案是完美的，我们需要针对学生学情、中考考情不断完善教学案的设计。

【常州市新闸中学 朱莹】

      三场讲座都让我收获良多，接下来我就从三个关键词来谈一下听完薛老师《教学案的有效设计》的讲座后的感悟。
      第一个是——钦佩。听完讲座后心里第一个想法就是“天呐，每一节课都这么上的话，老师得要花多大的功夫啊！”无论是课前的“教材导读”的设计，“方法指导”的有效性，还是“自主检测”的批改，“学生总结质疑”的预判，这些大量的工作都要在课前完成，这远远比老师单纯的备一节常态课的工作量要大得多。而这仅仅是新授课，如果碰到专题课、复习课，那又是庞大的工作量。所以我很钦佩武进湖塘实验初中的这些数学老师能将这么多的工作坚持在平常的每一节课的教学上，让我觉得自己还远远不够。
      第二个是——震撼。原来教学案的设计有这么大的学问。让我印象最深刻的有几点：1.在“教材导学”这个地方，并不是根据书本照搬照抄式填空，对概念、性质、定理等的再描述，而是需要在认真阅读课本的前提下，通过问题串的形式引导学生对概念、性质、定理等的理解，对学生的存在问题教学剖析，对学生的难点以问题引发学生的思考。对比自己也经常让学生预习，但是做不到如此精细化，也不会设计预习的检测作业，其实就是没法做到很好的课前诊断，也失去了预习的意义。2、专题课教学案中的“典型例题”环节，薛老师提到的“对边对定角”专题，在今年我也在班级尝试过，当时也是利用了导学案的形式，但是我在导学案上给完模型分析后给的第一个例题讲解就是最基本的模型，然后再层层递进。而薛老师的典型例题则是一个完整的、有难度的、包含了基础模型、解决思路、分析过程的例题，并且把这个例题的剖析过程清晰完整地印在了学生的教学案上。这个操作也让我觉得耳目一新，原来专题课的教学案还能这么设计。3、教学案上要注重变式的设计，以做到知识的迁移和建构。例如再讲“线段和最值”问题时的轴对称到平移、旋转的合理迁移和转化。4、在设计教学案的时候有一个留白的设计也是非常的有创意，让每一位老师能够根据自己的风格、自己所教学生的现状进行调整和个性化的展示，也让每一位老师能够更多的思考和研究，这也是让我很钦佩的地方，这样能够很好地体现出教学的针对性。
      第三个是——羡慕。湖塘实验初中有这么强大的一个团队，进行集体研讨，一体化的设计，这样的环境无疑会让教师快速地学习和成长，也能让教师能更加潜下心来认真研究，在每一节课中寻求突破。这样的环境的确会让我很羡慕。
　　薛老师讲座的结尾语“教育需要的是能够在日常的纷繁琐碎中不断寻求突破的人，能够独立思考不断前行的人，能够坚守教育的本源而又不断探求教育未来的人，能够知道现实并不完美，但是仍不言乏力，不言放弃的人”也非常鼓舞人心，给了我力量和目标。我也希望自己能够不断学习、不断成长。