蒋守成： 常州市金坛区东城实验小学校长，江苏省小学数学特级教师，常州市特级校长，江苏省“333工程”培养对象，江苏省乡村骨干教师培育站优秀主持人，常州市名师工作室优秀领衔人，常州市教育领军人才。出版了小学数学读本《走进你知道吗》、主题思维丛书《图形王国》等著作。

编者按：基于教材的主题拓展教学以培养学科关键能力为目标，根据主题优化整合教材内容，将教材呈碎片化的知识串起来，形成知识链，引导学生从系统上把握知识点，并逐步将知识内化，形成学习能力，发展核心素养。

教材作为教学权威、稳定、直接、系统的课程资源，为学生的数学学习活动提供了主要内容、基本线索和知识结构，也承载着数学课程改革的基本理念和具体要求。基于教材的主题拓展教学就是从教材出发，以主题为驱动力，通过超级链接，不断拓展关联的未知领域，增长学生的见识，构成新体系，形成新见解。这一过程中充分调动学生的认知能力和思维能力，促进学生把分散的、零碎的知识系统起来，培养结构化的思维方式，提升学习能力。

一、如何确定主题？

根据教学进程，依据学生年龄特点和已有的生活经验，师生共同确定主题，选择素材，教师据此规划教学进程。一个主题可以聚焦于一个核心内容，但其内容要有典型性和扩张力。例如，学完十进制后，以“五进制”为主题，让学生明白一个数量可以用不同的进制系统来表示，虽然呈现的样式不同但数量是不变的。一个主题也可以聚焦于一个专题进行研究，将几个相关联、有层次的素材组合成有机的整体。例如，学完因数和倍数后，以“有趣的数学猜想”为主题，将小学生能懂的三个数学猜想进行有序组合，让学生经历数学猜想的完整过程，感受数学理性的魅力。

二、如何把握主题拓展的三个“度”？

主题拓展教学是基于主题对知识内在结构的逐层深化的学习，本质是促进学生高阶思维能力的发展。

1.达成知识学习的充分广度。

充分的广度与知识产生的背景相关，与知识对人生成的意义相关，与个体经验相关。一个主题的拓展能够让学生明晰问题的前世今生，明白“是什么”“为什么”“还可以怎么做”。这样掌握问题的本质，就掌握了解决问题的核心。就一节课而言，拓展的广度由其教学目标和学生可能达到的水平决定；就某一主题而言，可以说是无限的，倡导学生进行无边界学习。

2.达成知识学习的充分深度。

充分深度与知识所表达的内在思想、认知方式和具体的思维逻辑相关。具体的说，主题拓展倡导的深度，不是单纯增加知识数量与难度，最佳的深度应当是学生的自学水平与教师、同伴帮助下能够达成的学习水平之间的落差，应为学生提供带有挑战性的主题学习内容，创造学生主动思考的事件，发挥师生“学习共同体”的潜能，在过程中逐层深化。

3.达成知识学习的充分关联度。

充分关联度是指知识学习指向与多维度地理解知识的丰富内涵及其与文化、想象、经验的内在联系。主题拓展的关联度就是要通过主题帮助学生打通数学学科知识的内在关联，打通数学与其他学科之间的关联，打通数学世界与生活世界的关联，促进学生自我构建数学主题系统。

三、如何进行基于教材的主题拓展教学？

主题拓展教学不是简单地增加知识点，也不是简单地增加教学时间，而是在数学学科教学时间总量不变的前提下，以培养学科关键能力为目标，依据学生认知规律和知识发展规律的基础上，基于主题优化整合教材内容，将教材呈碎片化的知识串成“知识链”，引导学生从系统上把握知识点，并逐步将知识内化，形成学习能力，发展核心素养。

1.以核心知识为主题整合教材：知识建构。

学生学习过的知识有些是碎片化的，有些是围绕某一主题相互联系起来形成一定的知识单元存在的。数学家华罗庚说：“找另一条线索把旧的东西重新贯穿起来，这也是一种很好的学习方法。”我们根据知识点之间的内在联系和前后课时知识间的内在逻辑关系，以核心知识为主题整合教材内容，将“碎片”纳入主题结构，减少知识点之间的跳跃性与重复性，帮助学生探究知识的来龙去脉，“串珠成线”，促进学生“编织”属于自己的知识结构。 

例如，学生学习《圆》 这一单元后，教师都有这样的经验，学生对圆相关问题正确率很高，但于半圆有关的问题反复练习多遍，错误率仍然居高不下，究其原因是学生对这类数学问题的核心知识并没有真正理解。为此，我们设计了主题拓展课《半圆》，以贯通圆、半圆、扇形之间的内在关联。

 活动之一：在操作中明晰概念。

师：请每个学生自己画一个半径为2厘米的半圆，说一说它有什么特征。（半圆是由一条直径和半圆弧组成的图形，它是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。）

活动之二：在研究中形成方法。

师：请同学们求出你画的半圆的周长和面积，并说一说求的方法。（形成半圆的周长、面积的一般方法，同时学生在比较中发现内在的区别。）

延展探究一.半个半圆(也就是四分之一圆)的周长面积（特殊的扇形）；

延展探究二.八分一圆的周长和面积（特殊的扇形）；

延展探究三.扇形的周长和面积。

活动之三：在解决问题中巩固。

 研究长方形和最大的半圆的关系。在一个长是a、宽是b的长方形中画一个最大的半圆，它的周长和面积取决于这个长方形的长，还是宽？

活动之四：在实践中运用。

解决跑道、窗户、围半圆形养鸡场的相关实际问题。

以核心知识为主题进行拓展，展现网络样态，有力地扩张学生的认知视界，让学生站在系统的角度明晰联系、关注区别，促进学生系统化、结构化的思维方式的形成。这一类基于核心知识的主题拓展教学我们进行了很多实践，例如《钱生钱》为主题，串联了有关利息、纳税、促销等理财知识；以《四边形》为主题揭示了四边形的共性和个性。

2. 以典型习题为主题贯通教材：习得方法。

学生在获取一类数学知识的时候经常采用相同的学习方法，因此我们以典型习题为主题帮助学生从“碎”到“统”，增强学习数学的整体意识，在整体上对某一类问题进行分析，构建数学模型，深化对知识本质的理解，并领悟一些基本的数学思想方法。

例如，人教版《数学》一年级下册第73页有一道“*”号题。

学生在解决这个问题时，有的学生尝试得到结论，有的学生通过分析发现未知数与已知的两个数的差有关，然后再尝试得出结论。知识的背后缺乏有效的方法，知识可能成为沉重的负担，因此需要我们帮助学生理解其中算理，构建这一类题的数学模型，形成一般的思想方法。

我发现教材在这道题之前第68页的“练习十五”中安排了一道与其相关联的思考题。它们之间本质上是一样的方法模型。思考题的数学化表达：芳芳-3=平平+3，也可以用画图让学生进一步发现：芳芳给平平3枚邮票，两人的邮票就一样多了，也就是 “芳芳比平平多2个3枚”。

于是我从思考题出发将这两个问题进行贯通，设计了《怎样分同样多》一课， 创设问题情境，紧扣问题层层展开，在情境中学生明白要分的同样多就要把多出的部分分成相等的两份，一份给自己，一份给他人。这样步步深入，在画图中明晰算理，在具体问题解决中积累方法经验。学生掌握了解决问题的方法，自主学习才有了可能，在以后的学习中遇到相似的问题，比如和差问题、差倍问题，就不再需要依赖教师，通过独立思考，就能轻松将问题解决了。

3.以“经典问题”为主题深化教材：提升能力。

基础知识贵在求联，关键的能力贵在求通，我们以“经典问题”为主题，通过拓展融合不同版本教材、古今中外主题资源来优化教材结构，打破了课时、单元、年段的边界，让学生在认知活动不断发展和深入的过程中，触类旁通，提升解决问题的能力。例如，“铺地锦”是明代的一种乘法计算方法。教材“你知道吗”栏目中涉及了这一经典问题。对乘法计算无论是教师还是学生总有一些固有的认识，例如：计算乘法要按规范写竖式、数位要对齐、要从低位算起，但对于形成这样的算法背后的算理缺乏本质的思考。所以我以“铺地锦”为主题，以人教版的“格子乘法”，北师大版的“台湾竖式”“古印度竖式”“画线法”，还有古代的筹算为素材，让学生从铺地锦出发，经历乘法计算的再创造过程。

再创造的过程也是对乘法计算方法历史演变过程的深刻体验，学生可以感受到乘法计算方法随着历史一步一步演变到今天，经历了一个不断优化的过程。这一过程带给学生三方面的收获。一是打破学生对乘法计算的固有认知，原来计算不仅可以从高位，还可以从低位，还可以用画线等不同方法进行计算，在经过比较推理的过程中明白乘法不一样的记录形式和计算方法，感受到算法的多样化和计算法则的流程化。二是在各种计算方法的对比中，让学生体会到虽然算法不同，但背后的算理是相通的，都可以用算理来贯通算法，体会到算理的统一化，提升了学生对运算方法的本质理解。三是由乘法计算引发对加法、减法和除法计算方法的思考和探究，例如“加减法一定要从低位算起吗”“除法一定要从高位算起吗”等问题，进而发现方法背后更有意义的算理的价值，全面提升学生的运算能力。

基于教材进行主题拓展教学，除了以上三种方式，我们还可以这样设置探究主题，例如，以教材“你知道吗”等栏目为主题，打通数学学科内在的关联；以探究实践为主题，打通数学与其他学科之间的关联；以生活现实为主题，打通数学世界和现实世界的关联。

——原文发表《河北教育》2020年6期

（作者单位：江苏省常州市金坛区东城实验小学）