概念教学重策略 小组合作促成长——记常州市自觉数学教学教育高端成长工作室第五次活动(一)

　　2019年12月6日，常州市自觉数学教育高端成长工作室第五次培育活动在常州市北环中学进行，主要围绕“小组合作有效性”展开活动。

　　本次活动由常州市北环中学胡珏老师负责支持。

现场展示课

　　第一节课由常州市武进区潘家初中王向东老师展示七年级《线段、射线、直线》，这是以小组合作方式辨析课堂中易混淆知识点的一节课。

　王向东老师从学生在小学已学的线段、射线、直线的基础知识开始，找出这三者的区别和联系，并用表格的形式帮助梳理，清晰明了，便于学生理解和掌握。王老师由让学生用变化的眼光看线段、射线、直线的联系，进而采用小组合作学习的形式为线段命名，作为学生掌握三者关系的提升。

　　第二节课由常州市武进区礼嘉中学高如玉老师展示九年级专题课《构造辅助圆解决问题》，这是充分展现小组合作学习在解决疑难问题时发挥作用的一节课。

　　高如玉老师在备课时了解学情、班情，为学生们精心准备课前预学习单，把整节课所需要用到的知识点整理出来，以“温故——初步运用——归纳”的形式，让学生在课前完成。课上，从点评学习单入手，用好生成性资源，因势利导地展开本节课的研讨主题。从特殊的90度角出发，引导学生归纳“见直角——找斜边——定圆心半径——现圆”的方法。如果特殊角度时锐角呢？如果是钝角呢？高老师的层层推进，让学生在不知不觉中，以小组合作的形式，不断引发高级思维的生成。同时，在为学生搭建好思维的脚手架，让学生解决问题后，再以归纳的形式，让学生真正地将感性思维转化为了理性思维，为以后解决问题做了很好地铺垫作用。

说课议课

　　课前，接到上课通知，认真研读教材，翻阅各种资料，比较各家之言：几何起始课，要从小学的直观几何转化到初中的实验操作几何和逻辑几何的学习，是今后研究复杂图形的基础；本节课首次涉及几何图形的表示法、几何三种语言表达的转化；小学已经基于直观学习经验初步认识三线的关系和表示，初中需要在此基础上逻辑提升，建立概念逻辑体系，初步经历把直观图形抽象为数学概念，并用符号表示再次抽象。因此备课时立足于学生实际，着眼于中小学的衔接，从他们的生活背景和已有经验出发，鼓励他们积极参与、观察对比、动手实践，让他们充分列举生活中随处可见的实例来解释数学问题，让学生动手画图、亲自操作、分组讨论、归纳总结，同时借助于多媒体演示，帮助学生较深刻的理解和掌握线段、射线、直线。

      课中，由于把控课堂能力和问题的开放性和指向欠妥，预设和生成产生矛盾，对学生的课堂即时生成花时间进行解决，上课留下了遗憾。

      课后，通过一堂课的教学，认识到自己存在的不足：设计课堂问题的精准性和指向性要更科学更专业些；自认为预设得比较多了但学生永远是有个性的，学情在上课之前要了解得更多些，避免经验化；提高课堂教学的艺术性永远在路上，教学设计可以再进一步，契合学生的实际，教学的放和收要合理合情，课型和知识的传授要合理选择方式。（武进区潘家初中 王向东自评）

　　对于初三专题教学，我每次上公开课都是绕道而行，主要是自己对专题知识钻研不透，怕自己把控不住课堂。借这次活动，我选择了初三学生现在较为熟悉的”定边定角构造辅助圆”这个内容做次尝试。首先我对这个知识点进行了深入的学习，查阅资料，向同行请教，自己摸索探究，理清这个知识点的来龙去脉，了解到学生对相关基础知识已经不陌生，但是对方法的提炼总结和对综合题的思路分析有待提高.于是我有了以下教学设计，目的是通过本课对这类问题的分析,探寻其中的规律,找到可依据的解题方法，以达到“做一题,通一类,会一片”的效果。

       第一部分自觉感悟，让学生课前对今天要用到的知识点进行回忆和运用，先给学生提供好工具，课上用时才能更得心应手。第二部分自觉探究，我建立了知识脚手架，利用平面直角坐标系先将定边定角中的角的顶点固定在y轴上，学生目标性更强，让学生先体会定边定角的模型思想，然后不断深入追问，逐渐让学生感受定边定角模型中角的顶点轨迹是圆弧。第三部分典例分析是将定边定角模型应用到具体问题中，每一步策略总结能让学生有法可依，以后遇到这类问题会思考能剖析从而解决问题。第四部分自觉巩固和中考链接，设计的题目都是类型相似，但背景变化，主要锻炼学生不被模型思想而禁锢，能灵活应用所学知识。

      我考虑到这种专题复习题的难度，想要充分利用小组合作的优势，以一带面，不仅需要独学，有自己的思考，更需要互学，取长补短。还设计了群学，集众人智慧，题目设计有特殊到一般，层层递进。让每个层次的学生都能有所收获。

     设想和现实的展示还是有很大差别的，预设和生成总是一对矛盾，我一方面想面面俱到把自己的教学设计进行完，另一方面想利用学生的问题或错误生成新的资源，留给学生自觉思考和总结评价的时间太少，回顾这次从选题设计到展示的过程，自己也从中感悟许多，还是要把课堂真正还给学生，真正做到主体自觉。（武进区礼嘉中学 高如玉）

　　12月6日王向东老师在北环中学七年级上了《线段、射线、直线》公开课，这节课是几何教学的起始课。王老师教学时关注探索、引导。

     本节课的优点比较多：1.从回顾小学已学的线段、射线、直线的基础知识开始，填写表格，关注三者之间的区别；2.教学时，教师抓住线段、射线、直线的联系，关注教学递进性，让学生用变化的眼光理解其关系；3.自然过渡到线段的命名，此处教学比较刘畅。4.引导学生有序的数线段，并发现规律，引导贴切，符合学生的认知。

      由于王老师是借班上课，对学生的预设不足，导致课堂上出现一些问题。主要体现在：1.射线命名时让学生自己先做，再老师讲解，学生就会产生一些错误的方法，需要老师纠正，浪费了时间；2.教学时老师带学生没有指着图理解射线，所以有学生认为“过O的射线有无数条”；3.教学时要注意问题指向要明确；4.数线段怎样引导学生得出结论。

      最后潘校问我，如何对此节课进行重新整合？我只是从知识结构进行重构，没有想到可以把作图渗透到前面的知识中，没有能真正的整合。课堂教学是一门艺术，我们只有平时多思考，才能追求更好！（常州市新北区小河中学 李燕华）       

       今天在北环中学聆听了王老师上的线段、射线、直线这一节课，王老师基于学情，娓娓道来，看得出教学基本功扎实，具有很强的亲和力，素养高。由于本节课是学生学习平面几何的起始课，王老师针对学生的问题循循善诱，很值得我学习。一开始王老师从生活中实例引入线段、射线、直线的概念，打开学生的自我系统。我认为关于线的分类可以去掉，这样更加直奔主题。接下来王老师请学生在学案上画这三线，建议还可以请一位学生上黑板画，当学生画完后王老师引导学生线段的端点的画法体现了数学的规范严谨。接下来王老师设置一系列问题串让学生通过同桌学生讨论线段、射线、直线的区别与联系。建议老师可以在学生回答的时候归纳看问题的角度，例如：从是否可以延伸来看……,从是否可以度量来看……，把学生凌乱的回答整理得更系统一些。甚至我觉得学生在画出这三种线以后可以先学它们的表示方法，然后再来对比它们的区别与联系，这样学生可以说的角度更多一些。在学习三种线的表示方法的时候可以带领学生复习点的表示方法等等。

       建议把概念辨析和识图交换顺序，先辨析再让学生来识图，即数线段。辨析的时候不对的问题要请学生说说为什么？而不是集体回答。王老师在学生识图完后让学生针对数射线错误较多来总结如何数射线，总结归纳方法很到位。整节课时间较为紧张，建议数完线段后的探寻规律可以不必研究。把时间用来给学生画图，然后得出基本事实。王老师整节课以学生为主体，教育理念到位，做了一个很好的示范引领。王老师的课堂可以让我们看到很多自己上课看不到的地方，值得我们好好研究。谢谢！（常州市田家炳初级中学 沈秋萍）

       王老师执教的《线段、射线、直线》这节课，有很多优点：1.基于学情，把握知识起点。注重与生活相联系，与学生的已知和已有经验联系；2.问题引领，挖掘思维起点。整节课用问题串递进展开，引导学生深入思考，使得学生对三线的概念学习不断走向深入；3.创设条件，关注学生的“学”。注重学生的自主学习体验过程，比如在射线的表示方法上，在三线的联系上，鼓励学生画图思考，尝试探索。因为老师未“灌”，未“满”，所以给了学生思维的空间，学生产生了认识冲突，促进深度理解。

       听课中的几点感悟：1.理解学生的错因，转化为教学资源。学生提出“线段去掉两个端点就变成直线”，是因为尚没有形成对线段、直线概念的本质理解，所以在关系性理解上形成偏差。可以在其他学生评析后举例：“老师手中的一支粉笔，可以抽象看成一条线段，掐掉两端的一小部分，是否可以抽象看成直线？”以此帮助学生理解区分三线的本质是自身的“延伸性”。在画图表示几何图形时，因为不能画出无限延伸性，才强调突出“端点”进行区分。2.整体建构，突出几何起始课的地位。从前一章“体、面、线、点”入手，让学生体会对几何图形的系统研究，从简单到复杂。点、线是最简单基本的几何图形，是后面研究其它其本图形及复杂图形的基础。对“线段、射线、直线”概念的学习，不仅学习知识，还需了解研究几何图形的基本套路和方法。学生沿着“模型—图形—文字—符号”这条主线对几何图形进行探究，通过图形语言、文字语言、符号语言的学习和转换，使学习不断深入，同时了解从形状、大小和位置关系（本课中涉及点与线、线与线）三个方面研究几何图形。

      课堂教学中有平流也有浪花，最美的风景永远在追寻的路上。（金坛区华罗庚实验学校 谢丽）

      王向东老师执教的6.1《线段、射线、直线》第一课时，从点、线、面引入，利用丰富的生活中的实例，让学生从中抽象出线段、射线、直线，回顾小学时对三种图形的认识，再让学生动手画，直观感知三种图形的异同。在讲授三线表示的时候，王老师将线段、直线、射线称为姓，字母称为名，形象地表述让学生更好地掌握它们的表示方法。

        王老师注重细节，在表示射线的时候，两个问题“能不能用射线O表示？”、“射线OA为什么不能说成射线AO”， 通过问题让学生在说理和思辨中真正弄清了射线的表示必须说清楚端点和方向、射线的表示字母具有顺序性，端点在前。在数射线的时候，王老师注重关注学生有序思维的培养和思维的严谨性。学生从一开始认为的无数条射线到后来统一认识只有一条射线，课堂生成、学生的认知冲突促进了学生的深度理解。

       在数射线时，王老师将图形分解出来，导师提出“分解图形到底好不好”引发了大家的思考，对于不复杂的问题，建议不要分解图形，容易把学生思维造成碎片化，可以用方向线在图中标注。

       从王老师学案的设计来看教学思路清晰，层次分明。但因为借班上课，不熟悉学情，课堂生成性问题太多，很多超出了老师的预设，导致在一些环节上浪费了时间，影响了知识完整性的呈现。

        教学永远是门缺憾的艺术，没有最好，只有更好！我们一起走在追求“更好”的路上！（常州市北环中学 沈良琴）

　　连续两天有幸观摩了两节关于“构造辅助圆解决问题”的九年级专题研究课，不同的教学目标，不同的教学设计令我大开眼界.高老师扎实精彩的示范教学课，我谈三点观课后最有感触的学习收获：

      1.翻转教学与小组合作相结合高老师借助构造辅助圆主要解决两个问题：①圆外一点到圆上各点距离的最值问题②圆中定边对定角的轨迹问题.这两个问题是几何性质定理的逆向运用，是难点，在短短45分钟内是无法充分展开教学的。高老师非常智慧地采用翻转教学法，精心设计预学单，课前让学生主要独立解决问题①，并且对问题②有所思考。课堂上，高老师首先采用数据分析的方式反馈学生预学单的完成情况，对疑点难点有针对性地展开生生、师生评价，高效完成问题①的教学。接着，高老师将问题②的探究，作为课内的教学重点，以小组合作的形式展开教学。基于每个学生独立思考的前提，高老师引导学生充分展开对学、群学、展学等活动，学生在小组合作中互学互助，掌握重点，突破难点，小组合作真实有效。

       2.教师引导与自主探究相结合圆中定边对定角的轨迹问题范围很广，如果教学设计方向不明确甚至会有空而不实之感。高老师充分结合学情、教情和考情，梳理出一条由特殊到一般，再由一般到特殊的教学主线。即将一般的定边对定角轨迹问题，分解为定边对直角、定边对锐角、定边对钝角问题。直角、锐角、钝角是三种特殊类型的角，从研究的角度来说由易到难，符合学生对问题的认知规律。因此学生在自主探究中数学思维发展由浅入深，顺势向上，有循序渐进的提升过程。在此基础上总结出一般的“定边对定角”模型，然后应用一般模型解决特殊问题。同时，在每个小组活动前，高老师都会将小组合作的要求打在PPT上，保障小组合作任务明确有序开展。上课班级的学生水平一般，但是我在观课过程中发现学生课堂参与度高，回答准确率高，这与高老师有效的引导和调动密不可分。

      3.方法归纳与及时巩固相结合高老师在分析定边对定角轨迹问题时，分别从直角、锐角和钝角三个方面展开。这既体现了分类讨论的思想也渗透了由未知到已知的转化思想。直角是最特殊的角，确定隐圆的圆心和半径的方法也比较特殊，学生在轻松解决的同时引导他们及时总结。定边对锐角问题是本课要解决的重中之重，高老师给足学生时间充分探究，尝试从不同的角度解决问题，学生找到了两条解决问题的途径。第一、见周角——想心角——定圆心半径——现圆，这条解决策略最具一般性，适用于所有定边对定角的轨迹问题，是圆周角定理的逆用。第二、作直角三角形——找斜边——定圆心半径——现圆。这是在圆弧轨迹上取了最特殊的位置，定角（圆周角）的一边是直径，从而圆心半径自然呈现。这类方法讲透后，让学生尝试解决在平面内给定一边AB一锐角∠C，作出锐角顶点C的轨迹同时求出锐角顶点的运动路径和构成△ABC面积的最值。定边对钝角问题在前面问题研究的基础上，水到渠成地转化为定边对锐角问题。这既是新角度的探究也是定边对锐角问题变式巩固练习。最后，高老师将问题①和②融合在一起，全面考查了学生对两个数学模型灵活运用的能力。从文字语言概括解题策略到图形语言归纳数学模型，从定性分析到定量计算，高老师边举例边总结，边提炼边练习的层层递进的教学方法让学生学得明白悟得透彻。

        一节好课的背后，是老师不断学习思考、不断打磨优化、不断挑灯夜战、不断和自己较劲的过程，也充满了其乐无穷的幸福。（常州市外国语学校 周琦）

        高如玉老师的专题复习课《“圆”来如此神奇——构造辅助圆解决问题》非常精彩，给大家展现了一场绝妙的教学盛宴，感触很深，收获更多，下面就以下几个方面谈谈自己的心得：

     1.先学后教。高老师课前让学生完成课前预学习单，批阅并做好数据统计与学习结果分析，这是一种翻转课堂的教学形式，用在这节课非常恰当。一方面，老师批阅学生的预学习单，可以在精准了解学情的基础上，再设计课堂教学；另一方面，因为本节课不是新授课，没有规范的教材内容可以参照和预习，如果在没有预热的情形下，学生直接进入课堂，接触这种高难度的综合性问题，肯定会一脸懵，无法投入精力进行深入的探究，所以学生通过预学习先接触教学内容必不可少。

     2.策略精当。构造辅助圆的问题，其实就是“隐圆”的问题，如何让圆不再有隐形的翅膀，露出它的真面目呢？这一直是教学的难点。高老师在这里处理地很有教学智慧，针对课堂内容：不同题型，分类思想，及时归纳。用软黑板贴呈现“现圆”的步骤，清晰明了，学生下次遇到这样类型的问题就不再茫然，而是有“法”可依了。

     3.指明方向。高老师的这节课，是一节九年级专题复习课，不仅要求学生有较强的数学综合能力，更考验老师的教学基本功。在高老师的指导下，学生很快投入课堂进行深度的探究，这不是一朝一夕、一蹴而就的事情。这节课对学生解决问题的思维训练、方法指导，将激起每一位九年级数学老师的思考。学生即将面临人生的转折点：中考，那么在中考的关键复习阶段，如何设计好专题课？选择怎样的教学内容？采用怎样的教学形式？运用怎样的教学策略......

     在接下来的研修活动中，我将跟上先行者的步伐，继续前行。（新北区吕墅中学 郑金华）

      高如玉老师的《圆来如此简单——构造辅助圆》这节课如行云流水，一气呵成。课堂教学手段先进，教学方式新颖，教学艺术彰显高老师的教学智慧和教学张力。她用丰富、生动的数学语言描绘了充满吸引力的教学情境，引导并帮助学生寻找通往知识坦途的金钥匙。不断鼓励学生放开手脚自我建构，归纳并总结出解决一类问题的通法。高老师课堂教学组织到位，分析问题结构细致入微，始终以问题为载体，中考为导向设计问题串，从特殊到一般，透过现象直达问题本质，善于抓住共性的问题去突破难点，用“定边对定角”这一主线贯穿整堂课的教学始终。高老师还注重细节，精心准备的小贴纸，高度凝练的关键词和小提示，一定会让学生对于解决“定边对定角”的数学模型记忆深刻，受用无穷。（新北区飞龙中学 盛小青）

      高如玉老师执教的《构造辅助圆解决问题》这节课，利用储备知识引路，三种“定边对定角”逐步呈现，学生参与积极主动，教师引导得法。我有以下感受：1.立意深刻。以“构造辅助圆”为研究方向，既深化了学生对圆相关知识的理解，又强化了学生对轨迹探究能力的培养。既紧扣考纲，又直击学生核心素养。2.学法多元。整堂课这样组织教学：学生独学→教师引学→学生互学→学生群学。学生全程参与知识的生成，这样的方式能有效地调动学生参与课堂教学的积极性，有效地激活学生的数学思维。3.高效提炼。在每一环节对相关知识方法进行及时总结，全面而且精当，尤其是方法层面的归纳，既授生以鱼，更授生以渔。 (武进区雪堰初中 杨翠芹）

专家导师点评

   上午，常州市初中数学教学的专家诸建刚主任代表常州市北环中学就本次活动的意义和作用发表讲话。诸主任表示，非常高兴工作室能到北环中学来传经送宝，高度评价了潘建明导师的自觉教育思想，充分肯定了工作室对培养常州数学优秀教育工作者所作出的不可磨灭的重要贡献。

　　潘建明导师对两节展示课作出了精准的总评。导师评价王向东老师的课是用问题串进行递进性展开，由教学目标转化为学习目标，由学习目标再转化为问题目标很有必要；将相关术语，在PPT方面有标贴性的展示，以显性化的方式给学生提醒，对初学者而言相当有帮助；以形象性方式教学，如线段的姓是什么？名是什么？激发学生学习兴趣。在学生数射线时，构造认知冲突，让学生更好地理解本节课的难点。

      潘建明导师评价高如玉老师的课是课堂灵动性高、生成性好；把学生的作业作为课堂引入是一种非常巧妙的资源转化；整节课铺垫性好，为学生构建好知识的脚手架，教学层层递进，不断深入，分类思想、基本图形思想、模型思想等数学思想渗透到位；学案设计很人情化，如增加草案备图；及时归纳非常到位。特别是小组合作的有效性，从老师的引入思考到老师的示范展示，小组中学生说、画、展非常到位，不是形式上的让学生围坐就是小组合作，而是真正地落到了实处。

       潘建明导师明确指出小组合作教学的有效性是关键，在学生充分独立思考之后开展的对学、群学、展学等活动才更有意义。在课堂上鼓励学生动起来的背后是与教师的精心策划，有效引导分不开。