2019年11月6日，常州市自觉数学教育高端成长工作室第四次培育活动在常州外国语学校进行，本次活动围绕“变式教学策略分析与研究”展开。

说课议课篇

课后，两位上课教师针对自己本节课的构思和想法分别说课。

翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力。一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解。

我从书本上的习题入手，通过在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠，让学生判断重叠部分的三角形是否为等腰三角形，并让学生说理。从这个题目的背景出发，变换折痕的位置，让学生分组动手操作，先限定折痕经过长方形一个顶点，通过学生的合作、交流，从而自主发现可以利用勾股定理解决折叠问题，多进行追问和探讨，引导学生发现变式教学中不变的本质属性，并引导学生得出解决折叠题目的一般方法，三步骤：找、标、列。

第二次变式，去掉了折痕过顶点的条件，完全发散，落点可以在形外、形内和边上三种情况，针对落点在边上这种情况，再次进行变式教学。进一步巩固学生对折叠中运用勾股定理解题的方法研究。

在变式教学中鼓励学生大胆猜想，善于发现与探索，并引导学生利用科学的推理与计算去验证自己的猜想。最后进行中考链接环节，引导学生利用所学知识解决中考中的难度较大的题目，从而达成教学目标。在开头和结尾，都提到了华为新款折叠手机Mate X，既是作为引出折叠课题之用，又通过结束的点评渗透爱国主义教育，体现数学教学的德育渗透和多重目标。

在实际教学中，让学生教学生是一种很好的教学方式，远比老师讲解有效；中考链接的设置有些跳跃，前面讲解的例题需要对添加辅助线的方法有所铺垫；在黑板上留有必要规范的板书，使所有学生学的明白；在学生回答问题环节，应该关注全体，促进学生整体的学习效果。（常州正衡中学  朱祥生自评）

通过深入分析苏科版教材的教学参考，我还分析了人教版教材相应章节的教学建议和例题练习等资料，形成了自己对于《线段、射线、直线》的变式教学设计。设计中，我主要考虑了三处“变”。

 一、变在不同情境中，体现数学与生活之间的紧密联系

我在整节课的设计中，注重了从“学习经验”到“数学理论”再到“生活实践”的引导。使学生形成一个完整的认知过程，并体会用理论指导生活的科学性，从而激发学好数学更能提升生活品质、生产质量的学习欲望。

二、变在剖析概念中，体现“三线”学习的本质与核心

通过不断地辨析和追问，使学生充分认识到线段、射线和直线之间既有区别，也有联系。通过数射线条数、线段条数，使学生从杂乱走向有序，掌握归纳的方法。分类讨论A、B两点和直线l的位置关系，从而找到最短路径的核心在于化归。这些都对后续复杂图形的学习，具有方法和思想上的指导意义。

三、变在知识发展中，体现章节起始课的意义和价值

本节课作为“平面图形的认识（一）”的第一课，需要通过变式挖掘其学习的意义和价值。我有三点思考：三线图形应成为后续从简单到复杂的基础；两个公理应成为后续定理发展的基石；三种数学语言的转化应成为后续说理的奠基。

课后，我对“变式教学”产生了新的顿悟：“变”的是呈现方式和组织形式，“不变的”是以学科为本的数学本质和以生为本的价值追求。“你所有忽视的，逃避的，不敢面对的困难，都会一次次轮回，直到你学会面对为止。”正像我以西天取经为主线设计的教学一样，教育更像是一场自我的修行，要自觉的成长。成长有同伴，修行靠个人，感恩、感谢！（常州市第四中学   关旸自评）

本次观课议课环节采用有自觉教育思想特色的令人大开眼界的实证性议课形式。

郑金华老师和刘跃老师从教学目标达成效度分析，由郑金华老师代表议课。

李燕华老师和沈秋萍老师从课堂结构与流程分析，由沈秋萍老师代表议课。

高如玉老师和孙梅老师从效问与理答行为分析，由高如玉老师代表议课。

眭亚燕老师从变式教学合理性分析。

杨翠芹老师和胡珏老师从语言交互数据分析，由杨翠芹老师代表议课。

王向东老师和吴秀兰老师从教学有效评价分析，由王向东老师代表议课。

潘海波老师和张一青老师从教学方法合理性分析，由张一青老师代表议课。

接着，工作室其他成员也从不同视角对以上两节课进行了精彩点评。

朱老师精准设问，有效提问，引发学生深度思考；引导学生动手做一做，找到图形的变化情况，在变式训练中，让学生自觉找到折叠问题的本质规律；引导学生积极参与，鼓励学生说出自己的想法，当学生有思维困难时，朱老师引导学生退一步，重新分析这个问题，让学生在挫折中成长，从而达到在变式中创新，在创新中发展，做一名发展的数学人。

本节课中的变式教学，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，朱老师以一张纸为载体，带领学生经历知识的发生、发展过程，以激励的语言激发学生的学习热情，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情，自然也达到了做一题，会一类的效果。朱老师激励性的语言，犹如“随风潜入夜，润物细无声”，所以学生在讲台上能大胆、自信的做小老师；分组讨论，学生互助现象也非常棒。我想，这应该是自觉教育理念的自由流淌，成功的自觉课堂！（武进区坂上初级中学 吴秀兰）

朱老师从书中已有的资源——折叠矩形纸片，证明重合部分的三角形是等腰三角形引入，引发学生的思考、变式……

    这节课的亮点主要有：第一，用华为手机为背景开始引入，最后用其结尾，首尾呼应，潜移默化地对学生的进行人文主义和爱国主义教育；第二，变式自然，切合学生的最近发展区；第三，设问巧妙，追问精准；第四，对学生的评价、鼓励语言用的非常多，激励学生自主学习……本节课的遗憾是几种变式均衡使力，有的变式分析后可以让学生独立解题，有的变式列出方程即可。从朱老师的课，我感悟到：从学生的学情出发，变式要变在学生难点，追问要问在节点！（常州市新北区小河中学  李燕华）

听了朱老师执教的《图形的折叠和计算》，给我的感觉是自然流畅，一气呵成。

1.低起点，高落点。朱老师不拘泥于就题解题，而是将一道题进行深度变式，研究折叠的三大视角，即形内、形外、边上，经历了从原题的特殊到一般，以及解题过中方程思想、转化思想一直贯穿整节课，起点低而落点高。

2.深挖掘，时归纳。及时归纳总结基本方法，图形中折叠问题重视边的转化，角的转化。确实让人眼前一亮，大有豁然开朗的感觉。

3.巧提问，促生成。朱老师通过及时追问，让学生真正做了课堂的主人。精准的追问，促进学生深度思考，使相关的知识在动态中产生。整节课以问题引路，用思想掌舵。

这节课的教学设计以图形折叠为主题，充分利用变式教学，能达到做一题会一片，通一类的效果，变式教学引导教师更多地关注数学的本质，同时也在悄然改变着传统的教学模式，力求创造全新的教学氛围，让数学课堂焕发属于自己的精彩。（常州市雪堰初中  杨翠芹）

朱老师数学教学素养高超，课堂把控能力精准，优点如下:

首先，朱老师的这节课教学设计清晰，层次感强。朱老师先以课本习题为依托，再让学生的动手操作活动——折纸，最后进行中考链接。其次，朱老师在整节课中以润物细无声的方式不断的渗透数学思想和数学探究方法。在探究落点不同位置所求线段的长度时，朱老师渗透了数学的分类思想；而探究形内位置时，朱老师渗透了从特殊到一般的数学思想；在整节课的各个探究活动中，学生也不断地实践着“操作——猜想——验证”这一科学的探究方法。再次，适时的点拨和积极性的评价不断增强学生的学习的成就感和积极性。当学生出现回答错误时，朱老师并没有急于否定，而是对学生进行适时的点拨；当学生恍然大悟时，朱老师又及时肯定并让学生自我评价，进一步增强了学生的成就感。

听完这节课，我更感觉到平时的教学中，要打通知识的横向联系，要像朱老师这样以一个知识点为依托而进行的变式教学，这样由点及面，不但能够丰富学生的知识储备，促进学生的深度学习，也大大提高学生的思维能力。（常州市田家炳初级中学 朱正芳）

朱老师的这节课紧紧围绕初中阶段平面图形的三大运动：平移、翻折、旋转中的翻折运动展开讨论。朱老师从华为手机的折叠屏引入课题，注重数学与生活的联系，然后精心选取教材中合适的习题为切入点，引导学生动手折一折，猜一猜，证一证，设计科学精准，让学生清晰地了解研究问题的一般步骤。整个教学过程运用折叠产生的不同情况，进行从易到难的变式训练，机智地将学生的思维引向深入思维，直击本质。朱老师的课堂十分亲切，与学生的交流流畅自然，在关键处点拨引导学生，学生在老师的引导下获得一种自信和肯定，这个有利于提升学生学习数学的兴趣。

听了朱老师的课受益匪浅，应用数学“变式教学”的方法使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，是十分有效的手段。（常州市田家炳中学 沈秋萍）

朱祥生老师的课整体来说非常精彩，展现出个人很高的教学素养。朱老师运用书上的例题为引例开展这节课的教学。引例的作用有两点：1、通过引例，使学生自觉思考，折叠的本质是轴对称，进而，自觉回顾轴对称的性质，为后面解决问题服务。2、自觉生成后续内容，由折痕的任意性、一般性到后面研究特殊的位置，并求线段的长度，感觉很自然。这堂课的最后以一道无锡市中考题收尾。这道题难度不小，学生在解决问题时遇到了障碍。这道题主线被对称轴垂直平分这一性质，不过前面的题目几乎没有用到这一性质。我个人觉得如果在前面变式训练时，稍微铺垫一下，设计一问求对称点连线CC’的长度，可能会为学生解决后面的难题打开一点思路。总之，朱老师在教学设计、问题设计、课堂预设等都做了精心的准备，呈现给我们的是一节高水准的课，有很多地方都值得我们学习。（常州市清潭中学 吴洋）

今天有幸聆听正衡朱老师的课，收获颇丰！从内容的设计上，基于教材从学生已有经验出发，折纸，验证重叠部分三角形的形状。以此为基本模型，在复杂图形中学会寻找基本图形。在内容的表示上，由学生的随意折，发现规律再去探究一些特殊位置时相关数量的计算，激发学生的求知欲和探究欲。教师智慧的引导，恰当的点拨，让学生逐步自主探究出我们要研究的特殊图形。听课过程中，虽然也觉得在内容的设计中没有涉及到对应点连线被对称轴垂直平分这个知识点。2018年宿迁市中考题28题中，有第2问涉及到添加此辅助线，但背景变为正方形，是否可以由长方形到正方形到三角形，抓住这个系列内容为主线。从教学方法上来说，整节课以学生自主探究活动为主，朱老师充当好了引领着的角色，很好的体现了学生的主体探究地位，这对教师基本功的很大考验，老师的灵活应变和适度的引导、归纳，让学生的思维得到突破。（新北实验中学  汤久妹）

关旸老师的《线段、射线、直线》示范课给我的感觉是魅力激情，师生合奏小变式课堂曲，课堂整体有“一变二不变”。

一“变”。整堂课多次采取变式教学：情景变化得出不同基本事实、概念辨析变式加深本质教学、语言变化注重数学几何的严谨规范教学、最值（距离）变式提升学生思维的技术含量培养了学生的思辨能力。变式教学改变着传统课堂，使学生在课堂理更能理解数学知识的本质，提升学生的兴趣和课堂效率。

二“不变”。关老师上课时精神永远是饱满的，激情的教学风格很容易和学生打成一片，学生也很愿意参与课堂。老师的上课状态决定着学生的学习状态，教师的高度影响着学生的高度，老师的魅力是高效自觉课堂的催化剂，这一点深深触动着我。

三“不变”。上课内容是变化的：生活引入，学生做中学，师生互动，但培养学生的数学素养这一主题是不变的，“学生主体教师主导”不变，变式教学中“形变神不变”，自觉教育的内涵不变。我想“以真学定真教”“让学生真正动起来”永远是课堂高效的不二法宝。（常州市潘家初中  王向东 ）

关老师的变式不仅仅是传统观念中的更换问题背景和条件的变式教学，而是在学生活动中采用了活动方式的变，在概念生成过程中让学生感悟思维方式的变，在归纳方法时让学生体悟策略方法的变，这让我耳目一新。

针对本节课我有以下三点思考：1.变式教学要有针对性，要结合课型和教学目标采用合适的变式策略，不能千篇一律的为了变式而变式；2.变式教学要遵循适用性原则，不能变得过于简单，要有思维的广度和深度，能够促进学生思维发展和方法的形成；3.变式要有参与性，教师在设计教学环节时候要充分考虑学情，让大部分学生能够参与到学习活动中，达到整体发展的目的。（新北区薛家中学 刘跃）

1.主线突出。关老师再将知识点串在了一起，让学生带着“玩”的心态走进课堂，在和唐僧师徒的取经中不知不觉中完成学习内容。课堂知识呈现的版块清晰，学生很清楚自己一节课所学内容。另外，学生对所学内容有亲切感，形成轻松和谐的课堂氛围。

2.变也是辨。以“变”为关键词展开学习，线段、射线、直线三者的变，由生活实际到数学知识的变，由图形语言到符号语言的变。学生进行的关于三线概念、表示方法、三者联系的辨识过程，也是学生用数学知识解释生活现象的析辨过程，也是由具体形象思维到抽象逻辑思想的辨析、转化过程。

3.有此及彼。听这节课，再想到自己以前的设计，缺少了从培养学生的核心素养出发的大局意识，我要把自己眼界放得更宽广。

    一点想法，当学生们在争执射线的表示方法时，是否借用本节课的情境“金箍棒”，从直线出发，在直线上取一个点得到射线、在直线上取两个点得到线段，再由学生讨论三线的表示方法，这样，学生的思考可能会更积极些。

    每个人读小说，会读出不同的理解，同样，每个人对教材的理解不同、天时、地利、人和等外界因素也都不定相同。教无定法，学无止境，我们能做的就是珍惜每次学习、思考的机会，力争在这样的活动中能真正提升自我。（常州市北环中学 胡珏）

关旸老师的课这几点十分吸引我：1.用孙悟空的金箍棒可以向两端变长引出今天的课题，非常的生动形象，引起了学生和听课老师的兴趣。2.通过列举生活中的线段、射线、直线点明了数学来源于生活。3.在对相关知识点进行板书时既有水平方向的线段、射线、直线，也有非水平方向的。4.对线段、射线、直线表示方法的讲解非常详细到位。5.通过观察直线上的点数与线段、射线条数之间的关系，从而发现并总结其中的规律。在讲授新课时，为学生构思一个引人入胜并且紧扣主题的情境，将数学与我们的实际生活联系起来，会起到事半功倍的效果。在课堂上可以适当的用变式进行引导，对概念进行辨析时，多采用概念变式和非概念变式，让学生能够加深对概念的理解。（东青实验学校 卢彬彬）

关旸老师基本功扎实、亲和力强，师生关系非常融洽，让我深切体会教学相长的魅力。

本节课有很多亮点，让我印象最为深刻的是教学难点“数线段”中对学生典型资源的处理，关老师请学生代表上黑板展示，并鼓励他说出自己的思维过程，这远比老师一遍遍讲要有效的多，正因为关老师放手让学生亲历了观察、猜想、验证的过程，不仅这位学生的表达能力得到了锻炼，其他学困生借助“生帮生”也有了更深刻的理解。我们对教学的追求是精益求精，这个猜想的过程可以再丰富一些，在直线上取一个点、两个点、三个点、四个点、五个点，罗列的规律才会更明显，学生从特殊到一般的归纳过程也会更自然、更流畅。（新北区吕墅中学  郑金华）

关旸老师在教学过程中，亲和力十足，很好地带动了学生学习的热情；情境创设有新意，把枯燥的概念课变成了有趣的西游之旅；伸缩自如的金箍棒抽象成数学中的直线、射线、线段，很好地激发了学生学习的乐趣；教学内容的设计环环相扣逐层递进；在概念新授中利用类比，变式等教学策略让教学更富深度。结合生活实例是关老师这节课的一大亮点，除了开头用西游记引入，在学习两点之间线段最短时，关老师还举了公园里的路，真正的体现数学生活化，而不是为了生活化而去套路。关老师在教学过程中能注重几何语言的运用，引领学生关注学习认识符号语言、图形语言，为以后的几何学习打下基础。

通过关老师这节课，让我自己反思在教授章节起始课时，需要注意其内容、书写、方法对以后相关内容的指向性、示范性；在教授概念课时，借助生活情境，让数学问题情境化，以激发学生的学习兴趣，遵循学生的认知规律。（常州市田家炳初级中学  沈静）

《线段、射线、直线》这节课是平面几何的入门课，非常抽象，知识点琐碎。我也上过两次公开课，但听完关老师的这节课，我又以下几点自己的想法。1、关老师以西游记为背景作为一条主线，金箍棒的变化来体现线段、直线和射线三者之间的关系，极好地调动了学生学习兴趣和探究的欲望。2、在引导学生对三种线进行表示或者说命名的时候进行的辨析， 是让学生在白板上动手操作，更加巩固了对这三种线的区别和联系。3、当直线上有N个点来，确定有多少条直线、射线、线段？上来的两位学生方法说的非常得好，但是，是不是每一个学生都理解？建议可以设计同伴互助，或是小组交流。4、所谓变式并不一定是对题目的变式，变的可以是拓展，延伸，培养学生的综合素养，培养解决类似问题的能力，总结经验方法。（常州市勤业中学 金银）

潘建明导师对以上两节课进行了精准的总评。潘建明导师明确指出变式教学的最终目的是减负增效，在课堂上鼓励学生批判性地接受新知，通过类比、对比深化教学，促进操作性理解、关系性理解，从而达到深度理解。

中午，老师们并没有休息，围绕潘建明导师抛出的问题“边边角如何进行变式教学设计”，纷纷边板演边展示自己的想法，自觉教研氛围活跃而欢乐。