随着新课程改革在全国各地的不断深入，近年来在全国各省市的中考试题出现了许多新题型，这些设计独特的新题型恰好体现新课程改革的最终目的——激发学生的创新思维，培养学生创新意识，提高学生的数学应用能力.本文以2006年全国各省市课改实验区的中考试题为例，探析新题型的特点及其解法，供同学们参考.

一、自编自解的开放型

例1（宁夏回族自治区课改实验区）如图1，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C，给出下列三个条件：

①AB是圆的直径；②D是BC的中点；③AB＝AC.

请在上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明.

解：命题一：条件：AB是圆的直径，D是BC的中点.结论：AB＝AC. 证明：连结AD ∵AB是圆的直径 ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∴AB＝AC. 命题二：条件：AB是圆的直径，AB＝AC.结论：D是BC的中点. 命题三：条件：D是BC的中点，AB＝AC.结论：AB是圆的直径.

评析：此题一改过去统一模式的定向思维为灵活多变的开放思维，这些自编自解的开放型试题，是实施数学创新教育的一个切入点，是新课程改革的一个新亮点.解决这类试题，必须要有扎实全面的基础知识，并熟悉每个知识点的横向与纵向的联系，才能自编自解.

对应训练（昆明市课改实验区）已知：如图2，AB//DE，且AB＝DE. <1>请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是_____. <2>添加条件后，证明△ABC≌△DEF.

二、实际应用型

例2（贵阳市课改实验区）如图3，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供测行部分的载面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为______m（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）.

对应训练（安徽省课改实验区）汪老师要装修自己带阁楼的新居（如图5为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题：

三、猜想、探究型

例3（贵阳市课改实验区）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段.

① 平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；

② 符合①要求的线段必须全部画出. 

 图6展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；

图7展示了当n＝2时的情况，此时图中三角形的个数为2；

<1>当n＝3时，请在图8中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为___；

<2>试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

<3>当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

解：<1>当n＝3时，图8中三角形的个数为4个；

<2>当有n对点时，最少有2(n－1)个三角形；

<3>当n＝2006时，2×(2006－1) ＝4010个，即最少可以画出4010个三角形.

评析：猜想与探究是数学发现过程中的一种创造性思维，关于猜想、探究的试题已成为近年来中考命题的热点.解决此类试题一般要进行观察、实验、分析、比较、联想、类比，再进行综合与归纳，从特殊到一般再到特殊进行思考分析.

对应训练（安徽省课改实验区）老师在黑板上写出三个算式：5²－3²＝8×2，9²－7²＝8×4，15²－3²＝8×27，

王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²－5²＝8×12，15²－7²＝8×22，……

<1>请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；

<2>用文字写出反映上述算式的规律；

<3>证明这个规律的正确性.

四、图形运动型

例4（宁夏回族自治区课改实验区）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别按A→B、B→C、C→D、D→A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动，如图9.

<2>四边形EFGH的面积S(cm2)随运动时间t(s)，变化的图象大致是（  ）.  

 < 3>写出四边形EFGH的面积S(cm²)关于运动时间t(s)变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？

解：<1>D，<2>B，<3>AE＝1×t＝t，AH＝6－t，S＝EH²＝AE²＋AH²＝t²＋(6－t) ²＝2t²－12t＋36   ∴S＝2(t－3) ²＋18  ∴当运动3秒钟时，S有最小值为18 cm².

评析：运动观点的思想渗透到数学之中，给数学中考命题带来许多新的创意. “动态型”试题往往“动”中有“静”，是近年来中考的“必考”题型.解决此类试题突破口是“静”，即构建“恒等”关系，从而解题.

对应训练（黄冈市课改实验区）如图10，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4,0）、（4,3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时，

五、判断说理型

例5（乌鲁木齐市课改实验区）如图11，萌萌将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°得到了菱形AB¹C¹D¹，连结BD¹、D¹B¹、D¹B、DB，她通过观察发现四边形BDB¹D¹是矩形，请你判断她的推测是否正确，若正确请给予证明；若不正确，请说明理由.

解：萌萌的推测是正确的.证明：菱形AB1C1D1与菱形ABCDD关于菱形ABCD关于点A成中心对称，∴AB＝AB1， AD＝AD1，∴四边形BDB1D1是平行四边形.又∵AB＝AD，∴DD1 ＝BB1，∴平行四边形BDB1D1是矩形.

评析：判断说理题是近年新兴的中考试题，它要求学生先进行分析与判断，一般对“正确与否”或“存在与否”进行定论后，再加以证明，它的特点是设下情境，让学生“参与”其中，它能很好考查学生的分析能力、判断能力、表达能力.其解题关键是判断必须准确，否则全功尽费.

对应训练（沈阳市课改实验区）如图12，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE（不需要证明）.

<1>如图13，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）；

<2>如图14，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，且CE＝DF，此时的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

<3>如图15，在<2>的基础上，连结AE和EF，若点M、N、P、Q分别AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程.

六、观察、归纳型

例6（沈阳市课改实验区）观察下列等式：2¹＝2；2²＝4；2³＝8；2⁴＝16；2⁵＝32；2⁶＝64；2⁷＝128，……通过观察，用你所发现的规律确定2²⁰⁰⁶的个位数字是____.

解：依题意可得2ⁿ（n≥1）的个位数字是周期性循环出现的。

    ∵ 2²⁰⁰⁶＝2^4×501＋2，∴ 2²⁰⁰⁶的个位数字是4，故填4.

评析：通过观察，发现数量或图形的规律，从感性认识向理性认识飞跃，这是发现过程中的重要思想方法，这既是考查学生能力水平的试题，又是通过知识的迁移、类比、转化、激发学生探索新知识的积极性和主动性.解决此类试题关键是根据已知题目的具体情况，细心观察、认真分析、大胆推测、把握规律.

对应训练（昆明市课改实验区）观察图16至图19中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记n个正方形中小圆圈的个数为m，则m＝______（用含n的代数式表示）.

 七、方案最优型

例7（贵阳市课改实验区）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元.

<1>符合公司要求的购买方案，有哪几种？请说明理由；

<2>如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

解：<1>设轿车要购买X辆，那么面包车要购买（10－X）辆，由题意得：7X＋4（10－X）≤55，解得：X≤5，又X≥3，则X＝3,4,5，即采购方案有三种：方案一：轿车购买3辆，面包车购买7辆；方案二：轿车购买4辆，面包车购买6辆；方案三：轿车购买5辆，面包车购买5辆.

<2>方案一的日租金为：3×200＋7×110＝1370；方案二的日租金为：4×200＋6×110＝1460；方案三的日租金为：5×200＋5×110＝1550，为保证日租金不低于1500元，应选择方案三.

评析：这类试题正好体现“人人学有价值的数学”的课改新理念，反映数学是与学生的现实生活及已有的知识体验密切相关，让学生感受数学“学有所用”.解决这类题的关键是在理解题目背景的基础上，寻找已知量与未知量之间的内在联系，建立恰当的数学模型，如方程（组）模型、函数模型、不等式（组）模型等等.

对应训练（昆明市课改实验区）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展，某市扩建了市县级公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元.

<1>设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式；

<2>若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？

由上述可见，呈现在近年来的中考新题型设计独特，构思新颖，贴近生活，确实令我们耳目一新。当然新题型远不止上述几例，以上的例子和训练，只是抛砖引玉之意，希望它能给同学们在中考复习中有所帮助.