一道周测试题的教学反思

高一数学组   吴国梁

在开学初的第一周周测结束，学生对下面的问题的解答遇到了困难，主要表现在三个方面。第一，没有明确的思路，不会使用方程的思想解决问题。第二，学生探索不出此类问题的几何特征。第三，使用方程思想的还不会使用设而不求的思想，对于代线法，设成x轴的斜截式的技巧性方法还不知道。通过讲解这个考题要让学生明确解决直线与圆的相交综合问题的一般路径和思考顺序。

解决这类问题一般路径即为代数法中方程的思想和数形结合中图形特征的挖掘与计算。思考的前后顺序应该优先从和数形结合，挖掘图形的平面特征，若能找到破解路径最好，否则就要用解析几何中最基本的方法，联立方程组消元，得到一元二次方程，在使用设而不求整体代换的方法进行求解。

题目如下：已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．

（1）圆的标准方程是？

（2）过点的直线（斜率存在）与圆交于两点(在轴上方)，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分，则点的坐标为？．

略去第一问，下面通过几个方法解答第二问，以此加深学生对此方法技巧的理解。

方法一

解：因为直线过点M(1,0)

1） 由图形可知斜率为0不符合题意，

2）当直线斜率不存在时直线AB方程为：，则A(1,),B(1,),那么x轴上的所有点都满足题意。

3）当设直线A的斜率存在且不为零时设方程为，与圆C方程联立，设其交点分别为A()，B(),N(m,0)

，消去y，整理得

当时，由韦达定理可知

若NM平分,可推得,代入坐标可得

因为，（利用A,B在直线AB上，目的将y变成x表示，这种方法称作代线法，达到横纵坐标的相互表示）

代入，交叉相乘，去分母整理的：--（3），将（1），（2）代入（3）化简得：

解得

由1），2），3）可知

变式训练：

无论直线AB如何变化，是否存在定点N,使得若NM平分,

根据圆的对称性可知，若点N不在x轴上，这样的点N必关于x轴对称。这与点N为定点矛盾，所以点N必在x轴上。

方法优化：

因为直线过点M(1,0)

1）由图形可知斜率为0不符合题意，

2）当直线斜率不存在时直线AB方程为：，则A(1,),B(1,),那么x轴上的所有点都满足题意。

3）当设直线A的斜率存在且不为零时设方程为，与圆C方程联立，设其交点分别为A()，B(),N(m,0)

，消去x，整理得

当时，由韦达定理可知

若NM平分,可推得,代入坐标可得

因为，（利用A,B在直线AB上，目的将x变成y表示，这种方法称作代线法，达到横纵坐标的相互表示）

代入，交叉相乘，去分母整理的：--（3），将（1），（2）代入（3）化简得：

解得

由1），2），3）可知