广东省林伟名师工作室 林伟
【基金项目】国家“万人计划”领军人才、广东省“特支计划”、广东省名师工作室联合资助，广东省教育科研“十三五”规划重点课题“高中数学核心素养的教学设计研究与实践”阶段性成果之一（课题批号：2018ZQJK018）
摘要 数学教学应遵循学生的思维发展规律，探索思意教学的基本内涵和价值，构建思意数学教学策略与模式，提高数学教学效率，培养学生思维品质。
关键词 思意数学 基本内涵 核心价值 思维品质
当下，中学数学教学存在着知识本位、教学方法单一、师生情感缺失等为考而教、为教而教现象。首先，存在一些形式化的“生本教育”，看似以学生为中心组织开展教育教学工作，实际上，没有从科学地为学生提供认知背景，也无涉关心学生的思维发展、提升和外化；此外，教学方式僵化缺乏灵活性、适应性，理应灵活安排教学环节和流程，却变成为了迎合先进理念理论，选择不符合学生思维发展的教学方式；最后，随着学习场景多样化的变革，需要打通学校学习和社区学习，但是现阶段，学生学习存在仅局限于学校和课堂，此举不利于学生感知到数学是有用的，是和生活息息相关的。
一、思意数学教学的基本内涵
1.何谓思意数学教学
“思意数学”教学，就是强调以问题为主线，以思维训练为核心，是一种以问题为本的教学形式。教师以教学相关知识为背景，灵活创设问题的情境，有效进行问题开发与设计，把学生的情感活动与认知活动结合起来，为学生拓宽广远的意境，激起学生的想象，如此由近及远，由此及彼，由表及里。学生的联想及想象能力也就在其中得到了较好的发展。
2. 思意数学教学的思想
思意教学强调把教材内容与数学情境联系起来，拓宽学生广远的意境，通过广远意境激发学生的想象，培养学生正确思维品质和思维方法。在教学过程中要“有序”和“启动”。
所谓有序就是根据学生认知规律，教师引导学生有规律地去学习，学生在思考递进的过程中，教师有序地对学生思维的指点和引导，掌握科学的学习和思考的方法，循序渐进地发展智力、培养能力。
所谓启动就是学生在整个学习过程中，学生根据教学目标、教学任务和学习要求，寻找到科学的学习和思考的方法。学生在教师的设疑激学下，学生通过观察、阅读、思考、表达、讨论、练习、交流，从而掌握新知识，发展自己的智能，培养思维能力。
思意教学是以“有序”和“启动”相互相成有机结合，协同发展，打好基础，提升思维能力。
3. 思意数学教学的结构
思意数学教学构建了“教材——教师——学生”三位一体，形成了“知识概念系统——教法步骤系统——认识思维系统”。符合学生认知规律，体现教师“导”的功能和学生“学”的功能，真正意义把教材变成学材，拓宽了学生广远的意境，开启了学生思维,把教材表现为“活动”,呈现出“过程”的引导系统。如下图：
二、思意数学教学的核心价值
“思意数学”教学是学生从“思”到“意”的过程，学生起始于问题思索，通过学习感受到数学的意蕴。在此教学中，发展学生思维的深刻性、灵活性、创造性、广阔性、敏捷性、批判性。在“思意数学”课堂中，学生主动地探索数学知识、掌握数学技能和培育数学思维。简图如下：
三、思意数学教学策略与模式
思意数学教学以知识为载体，以思维过程为主线，以问题为手段，合理组织教材，学生在教师的指导和帮助下，最大限度地完成自主学习的过程。在教师和学生的共同活动中，整合各种学习资源，创设生生互助、师生互动的学习情境，以知识和技能为载体，引发学生思考，激活学生思维，促进学生学习。
1.实施以下教学策略与模式：“一抓住”、“两增加”、“三贯彻”、“四注重”、“五环节”。
“一抓住”：紧紧抓住新课程理念来设计教学；使用教学材料与资源；选择教学行为与组织形式；创新教学方案的编写方法等。
“两增加”：增加学生自主学习的时间，让学生有探究、合作、倾听的机会，启迪学生智慧生成的思维场；增加学生自我展示的机会，创造“生生、师生”互动的情感场，促进学生有效参与。
“三贯彻”：自始至终贯彻一条符合学生实践的问题线；自始至终贯彻一条激发学生在数学学习中共同探究和充分发掘学生的思维本质的思维线；自始至终贯彻一条让不同的学生学习数学得到不同程度的发展的发展线。
“四注重”：一是注重教育的唤醒、激励、发展的功能，合理设计问题的起点和梯度，激发学生潜在的学习能力；二是注重思维相近的学生之间的交流和帮助，激发“生生、师生”之间的情感体验；三是注重学生思维能力的训练和思维品质的提升，加强学生独立学习能力的培养；四是注重教师的主导作用，实现自我身心的从经验走向智慧，实现感性与理性之合一、知性与悟性之交融。
“五环节”课堂结构：
激学导思：激励唤醒，开启思维。
思维展开：独思互助，交流思维。
应用提高：学以致用，提升思维。
梳理提炼：回顾总结，优化思维。
质量检测：矫正反馈，拓展思维。
2.“五环节”课堂教学模式的基本涵义：
环节一：激学导思
激学导思就是“激励唤醒，开启思维”的过程。教师以课标和学情为依据，以学生学习兴趣的最佳结合点出发进行教学设计，创设适合学生学习情境和思维梯度，把教材和教学目标内化为符合学生认知规律的学习方案，在教师的诱导下，自主完成预设问题的学习，初步内化学习目标和内容。
环节二：思维展开
思维展开是教师在“开启思维”的基础上，进一步“交流思维、提升思维、优化思维”。在这个过程中构建师生“学习共同体”，有效引导共同完成：剖析重点的、突破难点、澄清疑点、补充盲点，既完成预设目标，又可以生成新的目标。学生不仅体验知识生成的过程，而且体现学生思维发展的轨迹，展示学生思维提升的层次。
环节三：应用提高
这一环节是学生“学以致用，提升思维”的过程。教师根据教学内容设计基础问题，实现本节课教学的达成度，并且引导学生从知识向能力的转化与延伸，逐步达到知识与方法融会贯通，实现“发展思维”的目的。
环节四：梳理提炼
“梳理提炼”是师生共同“回顾总结，优化思维”的过程。“总结回顾”既包括对数学知识的梳理，也包括对数学方法的提炼。学生反思学习过程，总结和整理出获取知识体系、方法体系和解决问题的方略。教师将本节课所学内容融入到单元或章节之中，凝炼获取知识方法或思考问题的思路，形成完整的知识体系和方法体系。
环节五：质量检测
这是“矫正反馈，拓展思维”的阶段。通过检测诊断教和学的质量效果，检测教学目标的达成度和准确度，查漏补缺，反馈矫正，进一步帮助学生完成知识的落实、方法的内化，最终拓展学生思维向纵深延伸。
四、思意数学教学实践
下面以就“导数在函数中的应用”为例谈谈“思意数学”教学的教学程序。
导数这一块内容的教学分为四个课时，第一课时导数的概念及几何意义；第二课时导数的基本运算；第三课时导数在研究函数中的运用；第四课时导数在实际问题中的应用。
一、教材分析
1.教材的地位和作用
导数是高中数学新增内容，是初等数学与高等数学的重要衔接点。它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要，在近年来年的高考题都涉及这个知识点，主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。且考查时有一定的综合性，并与思想方法紧密结合，对函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法又进行了深入的考查，运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。
2.学习目标
通过本节课的学习让学生进一步建立利用导数解决与函数有关问题的意识。并要掌握以下三个方面：
（1）理解导数与函数的单调性、极值的关系，极值与最值的关系。
（2）会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的取值范围。
（3）会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最值及参数的取值范围。
3.重点和难点
重点：利用导数研究函数的单调性求函数的极值与最值。
难点：导数在含参函数中的应用。
二、学情分析
本节课是传媒艺术班学生专题复习课。本节课是5月下旬上，学生越临近高考越患得患失，太注重结果，忽视过程，心态急躁，急功近利，毛手毛脚，不知所措，并且由于我所任课班级学生是传媒艺术班的学生，生源弱，基本功差，但连续几次模拟函数解答题的得分情况让人十分不满意，具体暴露的问题挺多，绝大多数的同学都出现“会而不对，对而不全”解题不规范的情况，同时学生对函数知识不够重视，有似懂非懂之感，总认为自己会。为此，我认为很有必要把函数知识分两节课做为专题再次强化。本节课选择学生三道典型函数试题组，重点是要通过规范训练，让学生再次增强解决函数解答题的策略和方法。
三、教学过程
（一）激学导思：激励唤醒，开启思维。
1．判断函数单调性
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值。
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点。
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
4.导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性。
5. 函数的“最值”与“极值”的区别和联系
(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性。
(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有。
(3)极值只能在区间内部取得，而最值可以在区间的端点处取得。
(4)有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。
【设计意图】预习之后，学生自主完成“学导案”，需要讨论解决的做好标记。教师上课前将学生梳理的知识进行分类，确立讲解重点。
（二）思维展开：独思互助，交流思维。
1.f′(x)>0是f(x)在区间I上为增函数的 条件。
2.f′(x)≥0是f(x)在区间I上为增函数的 条件。
3.若f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)在区间I上为增函数的 条件。
4.若函数f(x)在区间I可导，则导数为0的点 是极值点，反之极值点的导数 为0 .
5.极大值是否一定大于极小值 。极值是局部范围内函数值的比较，最值是在一个区间上函数值的比较，极值是否一定是最值 .
（三）应用提高：学以致用，提升思维。
类型一 利用导数研究函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′3(2).
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝3(2)时，得a＝f′3(2)＝3×3(2)2＋2a×3(2)－1，解之，得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝33(1)(x－1)，列表如下：
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．
梳理提炼：回顾总结，优化思维。
利用导数研究函数单调性的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
类型二 利用导数求函数的极值
【例2】设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－2(1)对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[分析] 由条件x＝－2(1)为y＝f′(x)图象的对称轴及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符号求其极值．
解 (1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
从而f′(x)＝66(a)2＋b－6(a2)，
即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－6(a)对称，
从而由题设条件知－6(a)＝－2(1)，解得a＝3.
又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－2,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，
在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。
类型三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f(x)＝8(x2)－ln x，x∈[1,3]．
(1)求f(x)的最大值与最小值；
(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵函数f(x)＝8(x2)－ln x，∴f′(x)＝4(x)－x(1)，令f′(x)＝0得x＝±2.
∵x∈[1,3]，当1
∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，
∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝2(1)－ln 2；又f(1)＝8(1)，f(3)＝8(9)－ln 3，
∵ln 3>1，∴8(1)－(8(9)－ln 3)＝ln 3－1>0，
∴f(1)>f(3)，
∴x＝1时f(x)的最大值为8(1)，x＝2时函数取得最小值为2(1)－ln 2.
(2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤8(1)，
故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，只要4－at>8(1)对任意t∈[0,2]恒成立，即at<8(31)恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2]．
∴，解得a<16(31)，
∴实数a的取值范围是(－∞，16(31))．
函数最值的求解策略：
(1)根据最值的定义，求在闭区间［a,b］上连续，开区间(a,b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值。
(2)定义在开区间(a,b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点.
【设计意图】例1主要是从导数与函数单调性关系出发，找出不等式恒成立，通过分离变量或数形结合，解决有关的参数的范围。例2则是应用导数求函数的极值，重点在于熟练求极值方法。例3则是应用导数求含参数函数的最值与参数范围，重点在于熟练求最值方法。三个例题考查学生对导数与函数单调性、极值、最值关系的理解能力和分析问题简化问题的能力。
通过形式多种多样的师生、生生的互动学习、感受交流，老师一是点拨优点，指出问题；二是廓清疑团，准确答复；三是重点点拨，归纳方法；四是科学评价各小组展示情况。教师根据教学重点、难点及学生在自学交流过程中遇到的问题，进行重点讲解。
（四）梳理提炼：回顾总结，优化思维。
利用导数研究函数性质的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解。
(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号。
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解。
(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值。
【设计意图】教师引导学生归纳总结本节课所学的重点内容、解题思路和一般技巧。梳理成线，加深印象；突出易错易混易漏点；强化重点难点提升点。
（五）质量检测：矫正反馈，拓展思维。
1.设f(x)＝1＋ax2(ex)，其中a为正实数．
(1)当a＝3(4)时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
2.已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．
3. 函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象
在点P(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行
(1)求a，b；
(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．
4.已知函数f(x)＝ln x＋x(2a)，a∈R.
(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．
5.已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值．
6．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
7.设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.718 28……)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．21·cn·jy·com
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；
(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
四、教学反思
本节课，教师从几次模拟卷改卷中发现学生问题，得到启发，进而产生课题。针对学生知识的薄弱点和高考的重点创设教学情境，激活学生的思维，引发更深入的探究，生生产生共振。它较好体现教师与学生都是教学的主体，教师和学生通过各交流，相互沟通和补充，突出教师的“导”和学生的“学”，形成师生互教互学，彼此将成为一个真正的“学习共同体”。应该说本节课是一节利用旧题组展现新课程理念的成功案例。本节课增强了学生解决函数问题的能力和信心。
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